Guémara
La Guemara répond : ceci [le calcul précédent, selon lequel un périmètre de seize coudées suffit] ne vaut que pour le carré inscrit au milieu d'un cercle dont la circonférence est de douze coudées — car le diamètre d'un tel cercle est de quatre coudées ; mais pour qu'un carré inscrit dans un cercle ait un périmètre de seize coudées, le cercle exige une circonférence supérieure à douze coudées.
הָנֵי מִילֵּי בְּעִיגּוּלָא, אֲבָל בְּרִיבּוּעָא — בָּעֲיָא טְפֵי.
La Guemara poursuit son interrogation : voyons donc, de combien le périmètre d'un carré qui circonscrit un cercle dépasse-t-il la circonférence de ce cercle ? Il le dépasse d'un quart [du périmètre du carré]. S'il en est ainsi, un cercle d'une circonférence de seize coudées suffirait. Pourquoi, dès lors, Rabbi Yohanan exige-t-il une circonférence de vingt-quatre coudées ?
מִכְּדֵי כַּמָּה מְרוּבָּע יוֹתֵר עַל הָעִיגּוּל — רְבִיעַ, בְּשִׁיתְּסַר סַגִּי?
La Guemara répond : cet énoncé sur le rapport entre le périmètre d'un carré et la circonférence d'un cercle vaut pour un cercle inscrit dans un carré ; mais lorsqu'il s'agit d'un carré inscrit dans un cercle [le carré étant circonscrit par le cercle], le cercle exige une circonférence plus grande, à cause de la saillie des angles du carré. Pour garantir qu'un carré de quatre coudées de côté tienne exactement dans le cercle, la circonférence de celui-ci doit dépasser seize coudées.
הָנֵי מִילֵּי בְּעִיגּוּל דְּנָפֵיק מִגּוֹ רִיבּוּעָא, אֲבָל רִיבּוּעָא דְּנָפֵיק מִגּוֹ עִגּוּלָא — בָּעֵינַן טְפֵי, מִשּׁוּם מוּרְשָׁא דְקַרְנָתָא.
La Guemara calcule précisément de combien la circonférence doit être plus grande pour circonscrire le carré de quatre coudées sur quatre. Voyons donc : dans tout carré dont les côtés mesurent chacun une coudée, la diagonale mesure une coudée et deux cinquièmes ; et dans un cercle qui circonscrit un carré, la diagonale du carré est le diamètre du cercle. Ici, le carré circonscrit mesure quatre coudées sur quatre ; sa diagonale — donc le diamètre du cercle — mesure par conséquent cinq coudées et trois cinquièmes. Puisque la Guemara calcule la circonférence du cercle comme valant trois fois son diamètre, une souka ronde d'une circonférence de dix-sept coudées moins un cinquième de coudée devrait suffire. La Guemara répond : Rabbi Yohanan n'a pas été précis ; il a arrondi les dimensions de la souka ronde à un nombre supérieur au minimum absolu.
מִכְּדֵי כׇּל אַמְּתָא בְּרִיבּוּעָא אַמְּתָא וּתְרֵי חוּמְשֵׁי בַּאֲלַכְסוֹנָא, בְּשִׁיבְסַר נְכֵי חוּמְשָׁא סַגִּיא? לָא דָּק.
La Guemara s'en étonne : admettons que l'on dise « le Sage n'a pas été précis » lorsque l'écart entre le chiffre cité et le chiffre exact est minime ; mais lorsque l'écart est grand, dit-on encore « le Sage n'a pas été précis » ? Or Rabbi Yohanan a fixé la mesure minimale à vingt-quatre coudées [là où le calcul donne dix-sept moins un cinquième] : un écart de plus de sept coudées !
אֵימוֹר דְּאָמְרִינַן לָא דָּק פּוּרְתָּא, טוּבָא מִי אָמְרִינַן לָא דָּק?
Mar Kachicha — c'est-à-dire « l'ancien » —, fils de Rav Hisda, dit à Rav Achi : tiens-tu pour acquis qu'un homme assis occupe une coudée, de sorte qu'une souka destinée à asseoir vingt-quatre personnes devrait avoir une circonférence de vingt-quatre coudées ? En réalité, trois personnes assises occupent deux coudées. La Guemara demande : combien de coudées y a-t-il alors dans la souka requise par Rabbi Yohanan ? Il y en a seize. Mais nous exigeons une souka d'une circonférence de dix-sept coudées moins un cinquième, comme calculé plus haut. La Guemara répond : il n'a pas été précis et a arrondi le chiffre au nombre entier inférieur ; en vérité, la circonférence requise est plus grande de quatre cinquièmes de coudée.
אֲמַר לֵיהּ מָר קַשִּׁישָׁא בְּרֵיהּ דְּרַב חִסְדָּא לְרַב אָשֵׁי: מִי סָבְרַתְּ גַּבְרָא בְּאַמְּתָא יָתֵיב, תְּלָתָא גַּבְרֵי בְּתַרְתֵּי אַמְּתָא יָתְבִי. כַּמָּה הָווּ לְהוּ — שִׁיתְּסַר, אֲנַן שִׁיבְסַר נְכֵי חוּמְשָׁא בָּעֵינַן! לָא דָּק.
La Guemara rejette cette explication : admettons que l'on dise « le Sage n'a pas été précis » lorsque le résultat va dans le sens d'une rigueur — par exemple s'il a exigé une souka dont les dimensions dépassent le minimum requis ; mais lorsque le résultat va dans le sens d'un allègement, dit-on « le Sage n'a pas été précis » ? Car ici, le manque de précision conduirait à valider une souka dont les dimensions sont inférieures au minimum requis [seize au lieu de dix-sept moins un cinquième].
אֵימוֹר דְּאָמְרִינַן לָא דָּק לְחוּמְרָא, לְקוּלָּא מִי אָמְרִינַן לָא דָּק?
Rav Assi dit à Rav Achi : en vérité, un homme assis occupe bien une coudée, et Rabbi Yohanan ne compte pas, dans son calcul, l'espace qu'occupent les hommes eux-mêmes. Autrement dit, on a supposé jusqu'ici que Rabbi Yohanan calculait la circonférence de la souka nécessaire pour asseoir vingt-quatre personnes ; en réalité, il a calculé la circonférence du cercle intérieur formé par les vingt-quatre personnes assises [les hommes étant assis tout autour, à l'extérieur de ce cercle].
אֲמַר לֵיהּ רַב אַסִּי לְרַב אָשֵׁי: לְעוֹלָם גַּבְרָא בְּאַמְּתָא יָתֵיב, וְרַבִּי יוֹחָנָן מְקוֹם גַּבְרֵי לָא קָחָשֵׁיב.
La Guemara demande : combien de coudées y a-t-il dans la circonférence du cercle intérieur formé par un cercle de vingt-quatre personnes ? Il y en a dix-huit. En effet, d'après la règle selon laquelle à trois coudées de circonférence correspond une coudée de diamètre, le diamètre d'un cercle dont la circonférence extérieure entoure vingt-quatre personnes est de huit coudées. Pour obtenir la circonférence du cercle intérieur, on retranche du diamètre l'espace occupé par deux personnes, chacune assise à une extrémité du diamètre : il reste un diamètre de six coudées. D'après la même règle, un cercle de six coudées de diamètre a une circonférence de dix-huit coudées. Or une circonférence de dix-sept coudées moins un cinquième devrait suffire. La Guemara répond : c'est précisément ici qu'il n'a pas été précis, et il l'est dans le sens d'une rigueur, car au lieu de seize et quatre cinquièmes, Rabbi Yohanan a exigé dix-huit coudées.
כַּמָּה הָווּ לְהוּ — תַּמְנֵי סְרֵי, בְּשִׁיבְסַר נְכֵי חוּמְשָׁא סַגִּיא! הַיְינוּ דְּלָא דָּק וּלְחוּמְרָא לָא דָּק.
Les Sages de Césarée — et certains disent : les juges de Césarée — enseignent que l'énoncé de Rabbi Yohanan peut s'expliquer par un autre calcul : la circonférence d'un cercle inscrit dans un carré est inférieure d'un quart au périmètre du carré,
רַבָּנַן דְּקֵיסָרִי, וְאָמְרִי לַהּ דַּיָּינֵי דְקֵיסָרִי אָמְרִי: עִיגּוּלָא דְּנָפֵיק מִגּוֹ רִיבּוּעָא — רִבְעָא,
Rachi
הני מילי - דבהיקף ג' איכא רווחא טפח:,בעיגולא - רוחב טפח יש בו והוא עגול וכל עגול אין רחבו אלא באמצעו ואנן בעינן ד' אמות מרובעות שיהא ארבע בצידיה כמו באמצעה ובריבועא איכא הקיפא טפי:
מכדי כמה מרובע יתר על העיגול רביע - מתני' היא בארבעים ותשע מדות והדברים נראין לעינים דאילו אמה עגולה חוט שלש אמות מקיפה ואמה מרובעת צריכה חוט ד' לסובבה אמה לכל רוח:,בשיתסר - היקף סגי:
ה"מ - דסגי בשיתסר מהאי טעמא דמרובע יתר על עיגול רביע:,בעיגולא דנפיק מיגו ריבוע - אם היקפת בחוט של ט"ז אמה בקרקע בריבועא תמצא בתוכו ארבע מרובעות ואם היית צריך לעגלו מבפנים ולהוציא קרנות ריבועו אתה עוגלו בחוט י"ב ונמצא חיצון יתר על הפנימי רביע אף כאן אם היתה מרובעת סוכה זו דיה להיות כדי שישבו בהיקיפה ששה עשר בני אדם:,אבל בריבועא מגו עיגולא בעינן טפי משום מורשא דקרנתא - אבל עכשיו כשעשה אותה עגולה אם לא היה הקיפה אלא ששה עשר נמצא האמצע רוחב הרבה מארבע וצידיה הולכים וכלים עד לכלה ואין אתה מוצא בצידיה ארבע שאין לה זויות ורבי ארבע מרובעות בעי וצריך אתה לעשות על כרחך היקף עיגולה גדול כדי שתוכל לרבע מתוכה ארבע מרובעות שיש להם זויות:
מכדי כל אמתא בריבועא כו' - כשאתה מודד אלכסון שלהם אתה מוצא לכל אמה שבריבוע תוספת שני חומשים כך שיערו חכמים:,בשיבסר נכי חומשא סגי - שהרי אינך צריך להרחיב עיגול זה אלא שתמצא בתוכו ד' מרובעות וכשאתה מושיב לתוכו טבלא מרובעת יהא חוט העיגול המקיפו נוגע בקרנות הריבוע נמצא עיגול זה רחב מתוכו כמזוית לזוית של ריבוע שהוא חמש אמות ושלשה חומשים ודבר עגול כל רחבו שוה כאלכסונו כן אמצעו שהרי אין לו זויות נמצא תוכו חמשה ושלשה חומשין על חמשה ושלשה חומשין וכל שיש ברחבו טפח בעיגול צריך היקפו שלשה נמצא לחמש אמות רחב חמש עשרה אמה היקף ולשלשה חומשין תשע היקף שהן שתי אמות פחות חומש הרי שיבסר נכי חומשא פחות חומש:,לא דק - ר' יוחנן במילתיה לצמצם ואמר טפי דכל כמה דהויא גדולה טפי עדיפא:
לחומרא - אם אמר להוסיף על השיעור דלא חש לצמצם לא הוה קשיא לן אבל השתא דבציר ליה שיעורא והכשיר את הפסולה קשיא לן מי לא דק במילתיה דלא ליקיל:
באמתא יתיב - ואי הוה מצריך רבי יוחנן להושיבם לתוכה ודאי איכא לאקשויי:,אלא ר' יוחנן מקום גברי לא קחשיב - בתוך הסוכה אלא סביבותיה מבחוץ הוא אומר להושיבם הרי פיחתנו מן החשבון מרוחב העיגול שתי אמות על שתי אמות שכשאתה סובבו בחוט סביבו מבחוץ היקפו עשרים וארבע אתה מוצא בתוכו שמונה על שמונה דכל שיש בהיקפו שלשה יש ברוחבו טפח ועכשיו שהדפנות מפנימה למושבן אינו רחב אלא ששה על ששה דהא גברא באמתא יתיב והוצאת לך אמה מזה ואמה מזה לכל צד:
כמה הוו להו תמני סרי - בהקיפה יש שמונה עשר דהא רחבה ששה על ששה:,ולחומרא לא דק - שהוסיף מעט על השיעור ולא צמצמו ומיהו פורתא אוסיף דלא הרחיבו בתוכו יותר על שיעורו אלא שני חומשין דהיינו שליש מששה חומשין שהוסיף בהקיפו וליכא לאקשויי כדאקשת לעיל טובא מי לא דק:
ורבנן דקיסרי אמרי - לעולם מקום גברי בעינן דלהוי לתוכה עשרים וארבע אמות:,דעיגולא מגו ריבועא ריבעא - מפיק מן הריבוע כשאתה עוגל את המרובע מתוכו:
Tossafot
כמה מרובע יתר על העגול רביע. אין להוכיח דבר זה מהא דטבלא מרובעת של שלש על שלש וחוט של שתים עשרה יסוב אותה וטבלא עגולה של שלש חוט של תשע אמות יסוב אותה דכל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רחב טפח כדאמר בשמעתין דאין מביאין ראיה מחוט ההיקף הגדול רביע אצל רוחב המקום דאטו טבלא עגולה של ד' על ד' אמות סלקא דעתך שאינה מחזקת אלא כטבלא של ג' על ג' מרובעים לפי שהחוט המקיפו מדתו שוה והלא כשתחלוק טבלא של ג' על ג' מרובע על ג' רצועות לאורך ושלש רצועות לרוחב לא תמצא בה כי אם ט' [של] אמה על אמה וטבלא עגולה של ד' על ד' ע"כ יש בה י"ב רצועות של אמה על אמה שהרי (אם) ריבוע של ד' על ד' כשנחלק לד' רצועות של רחב אמה לארכו וכן לרחבו תמצא בו י"ו רצועות של אמה על אמה ומרובע אינו יתר על העיגול אלא רביע נמצאת אתה אומר שהעגולה היא י"ב אמה על אמה אלא ודאי אין ראיה מחוט של היקף כלל ועוד תדע דרצועה של ה' אמות אורך על רוחב אמה חוט של י"ב אמה מקיפה כשתבא לחלקה לרצועות של אמה על אמה אין בה אלא חמש אמות והיינו טעמא לפי כשאתה מניח חוט בריבוע הולך ומיצר לזויות וכשאתה מניחו בעוגל מרחיב והולך ואם באנו לכוין החשבון דמרובע יתר על העגול נוכל להוכיח בענין זה שתעשה נקודה של משהו ותקיפנה בחוטין הרבה סביב זה סיבוב אחר סיבוב עד שירחיבו ויגדל רוחב בעוגל טפח על טפח ואחר כך תחתך החוטין מן הנקודה ולמטה דהיינו מחצי רוחב עיגול ולמטה ואחר שיחתכו יתפשטו כל החוטין מימין ומשמאל ונמצא כל חוט הולך ומאריך מחבירו משהו מכאן ומשהו מכאן עד שאתה מגיע לחוט העליון דארכו ג' טפחים שהוא חוט החיצון שהוא מסבב טפח על טפח דכל שיש ברוחבו טפח יש בהיקפו שלשה טפחים נמצאו החוטין הללו סדורין כענין זה כמין רצועה רחבה באמצע חצי טפח והיינו כנגד הנקודה מכאן ומכאן כלה והולכת וצרה עד משהו ואם באת לחזור ולחלק אותה באמצע היינו כנגד הנקודה תמצא שתי רצועות שכל אחת ארכה טפח ומחצה ומצד אחת רחבה חצי טפח ומצד אחת כלה עד משהו ועתה תצטרף אלו שתי הרצועות ושים הארוך כנגד הקצר תמצא רצועה ארכה טפח ומחצה על רוחב חצי טפח תחלוק אותה לשלש רצועות תמצא בה שלש רצועות מחצי טפח על חצי טפח ואילו רצועה מרובעת של טפח כשתחלקנה שתי וערב תמצא בה ארבע רצועות של חצי טפח על חצי טפח הרי לך מרובע יתר על העיגול רביע:
כל אמתא בריבוע אמתא ותרי חומשי באלכסונה. אין החשבון מכוון ולא דק דאיכא טפי פורתא שאם תעשה ריבוע של עשר על עשר ותחלק אותו שתי וערב נמצא בתוכו ארבעה ריבועים של חמשה על חמשה חזור וחלוק אותם ריבועים לאלכסונים ההולך לצד אמצע של ריבוע גדול תמצא בריבוע הפנימי חמשים אמה שהרי הוא חציו של חיצון שהרי חלקת הריבועים של ה' על ה' כל אחד לאלכסונו ואם לא היה בו אלא לפי חשבון אמתא ותרי חומשי דהיינו ז' על ז' נמצא דאין בו חציו של חיצון דריבוע של שבעה על שבעה אין בו אלא ארבעים ותשע רצועות של אמה על אמה וראוי להיות חמשים דהא הוא חציו של עשרה על עשרה דעולה למאה רצועות של אמה על אמה:
רבי יוחנן מקום גברי לא קחשיב. על חנם דחק ליישב דברי ר' יוחנן דעל כרחך מקום גברי קחשיב דשמעינן ליה בהדיא בעירובין בריש חלון (דף טו.) דאמר חלון עגול צריך שיהא בהקיפו כ"ד טפחים ולא מיתרצא אלא כדייני דקיסרי וכו':
Texte : Sefaria — William Davidson Edition - Vocalized Aramaic · traduction française de travail, à valider.